Les anniversaires

Un problème mathématique concernant des dates d’anniversaires est tout à fait passionnant.

En effet chacun est convaincu que la probabilité que deux personnes soit nées le même jour dans une assemblée de moins de 50 personnes est faible, pour la bonne raison que cette question est rarement posée et qu’on la confond avec la probabilité que quelqu’un soit né le même jour que nous.

On fait appel une fois de plus à son bon sens, et une fois de plus on a tort.

Étudions ce problème de plus près.

Voici le pari :

« Je te parie 10 euros que dans cette assemblée de 50 personnes 2 au moins sont nées le même jour »

La somme engagée n’est pas énorme. J’ai finalement peut-être peur de perdre.

Tu as envie de jouer. Aller on y va ….

En fait, j’ai environ 97 % de chances d’avoir raison.

Une année : 365 jours

Nous allons calculer la probabilité qu’aucune personne n’ait le même anniversaire.

Il existe 365 jours possibles pour le premier, 364 pour le deuxième (il ne peut pas être né le même jour que le premier), 363 pour le troisième (il ne peut pas être né le même jour que le premier, ni que le deuxième), et ainsi de suite nous obtenons 316 jours possibles pour le 50ième.

Il existe donc 365x364x363x… x316 situations favorables conduisant à notre hypothèse.

Il y a en tout (si on autorise n’importe quelle date de naissance) 365x365x365x….x365 (50 fois) combinaisons d’anniversaires possibles.

La probabilité que les anniversaires soient tous différents est donc le quotient du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles :
( 365x364x363x…x316 ) / (365x365x365x…x365)

Cela donne environ : 0.0296 soit 2.96 % de chance que mon pari soit perdu.

J’ai donc bien 97% de chance de gagner mes 10 euros.

Si j’avais parié 50 euros tu te serais douté que j’étais sûr de moi et tu n’aurais sans doute pas joué.

Pour information, si l’assemblée compte 23 personnes, j’ai environ 50% soit une chance sur 2  de gagner.

5 2,71 %
10 11,69 %
15 25,29 %
20 41,14 %
23 50,73 %
25 56,87 %
30 70,63 %
40 89,12 %
50 97,04 %
60 99,41 %
80 99,99 %
100 99,99997 %
200 99,9999999999999999999999999998 %
365 100 %

Tous ces jeux sont finalement essentiellement basés sur la perception que l’on a de la probabilité de gain et pas sur la réalité de la question ou de l’action à réaliser. La question ou la situation est faite pour vous mettre en confiance et vous donner des chances fortes de détenir la vérité.

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